유체의 압축성과 비압축성 유동의 이해

유체의 압축성에 대해 이야기해 볼까요? 유체의 압축성이란, 압력이 변할 때 유체의 부피가 얼마나 변하는지를 나타내는 거예요. 이는 유체가 어떻게 흐르든지 상관없이 그 유체의 열역학적 특성으로 정의돼요.

밀도 변화와 마하 수의 역할

유체가 흐를 때 압축률은 조금 다른 얘기가 되는데요. 이건 바로 흐름의 마하 수와 직접적인 관계가 있어요. 운동량 방정식을 2차 테일러 분해로 확장해 보면, M^2에 비례하는 요동하는 압력 항이 생긴다는 걸 알 수 있어요. 그래서 마하 수가 0.3보다 낮으면 그 흐름은 비압축성이라고 볼 수 있어요. 마하 수가 0.3인 경우에는, 이른바 '음향적' 요동하는 압력이 대류 압력 항의 10% 정도 되는 거예요. 이와 관련된 더 자세한 내용을 알고 싶다면, 로우-마흐 수를 위한 나비에 스토크스 방정식을 한번 살펴보는 것도 좋겠죠.

유체의 흐름과 밀도의 변화

유체가 어떻게 흐르는지에 대해 이야기해 보면 유체 내에서 밀도가 어떻게 변하는지에 따라 압축성이냐 비압축성이냐로 나눌 수 있어요. 밀도가 거의 변하지 않고 일정하다면 그 흐름은 비압축성이라고 불려요. 액체는 보통 특정 온도에서 밀도가 거의 변하지 않기 때문에 액체 흐름은 대개 비압축성이라고 할 수 있어요. 이런 이유로 액체는 종종 비압축성 유체로 언급되죠.

 

하지만 유체와 흐름은 서로 다르니까 우리가 이야기하는 방식을 조금 바꿔볼 수도 있어요

유체의 비압축성 흐름

비압축성 흐름이란, 사실상 속도장에 관한 얘기예요. 속도장이 발산하지 않거나 발산하지 않는 것과 아주 가까운 상태라고 말할 수 있죠. 비압축성 유체는 특정한 물질(유체)에 대한 얘기고 그 물질이 압축될 수 있는지 없는지에 대한 얘기예요.

 

공기는 평소에 비압축성 흐름을 보여주지만 압축할 수 있기 때문에 압축성 유체로 분류돼요(유동장이 발산하지 않는 경향이 있기 때문이죠). 고무처럼 비압축성 물질도 있지만 고무는 유체가 아니니까 비압축성 흐름과는 연결되지 않아요.

 

비압축성 유체에 대한 압력을 올려보면 부피 변화가 전혀 없다는 걸 알 수 있어요. 즉 압력에 의한 부피의 변화율, 다시 말해 압력으로 인한 부피의 편미분이 0이 된다는 의미예요. 이건 유체의 한 성질이며 유체역학이나 유체정역학에도 동일하게 적용되죠.

 

비압축성 유체에서는 유체의 압축률이 무한대가 되면서 음속과도 연결돼요. 이는 압력 변화가 그 지역 전체에 순간적으로 전달된다는 걸 의미해요. 비압축성이라는 건 사실 근사치에 가까워요. 모든 유체는 어느 정도 압축 가능하고 유한한 음속을 가지고 있거든요. 그렇지만 많은 유체정역학과 유체역학 시나리오에서는 비압축성 가정이 꽤 유용하게 쓰여요.

유체정역학적 조건

저속 공기역학이나 다른 유체역학 상황에서 우리는 종종 유체의 흐름을 비압축성으로 모델링해요, 특히 액체를 다룰 때는요. 일반적으로 밀도가 일정하다고 가정하는 건 유체가 비압축성이며 음속이 무한하다는 또 다른 표현 방식이죠. 밀도가 일정하면 속도의 발산이 0이 되어야 해요(Navier-Stokes 방정식에서 질량 보존을 참고하세요).

 

하지만 발산이 0이라는 것은 흐름에 대한 가정이지 유체 자체의 성질은 아니에요. 비압축성 유체는 비압축성 흐름을 만들 수 있지만 유체정역학적 조건에서는 속도의 발산이 항상 0이 될 필요는 없어요. 그리고 낮은 마하 수에서의 연소처럼, 온도와 밀도가 변하는 비압축성 흐름도 존재할 수 있어요.

 

돌은 손에 닿을 수 있지만, 소리는 그렇지 않죠. 비압축성 유체를 생각해 볼게요. 압력이 변해도 부피는 그대로예요. 비압축성 흐름에서는 속도 벡터의 발산이 0이라고 해요. 하지만 이게 유체 밀도가 일정하다는 뜻은 아니에요. 실제로는 유체 흐름 속에서 밀도의 작은 변동이나 이종성이 허용되고 흐름에 따라 이동하죠.

 

예를 들어 대류 불안정성이 일어나는 베르나르 문제에서는 온도 구배로 인한 밀도 변동이 유체를 움직이게 만드는 중요한 역할을 해요. 열 부력은 운동량 방정식에 남아 있지만 빠르게 전파되는 음파에 의한 압축과 팽창은 우리가 관심 갖지 않아서 비압축성 흐름을 다룰 때는 이런 움직임을 걸러내요.

에너지 전달 방정식

"div v = 0"인 비압축성 흐름의 근사치는 질량, 운동량, 에너지 전달 방정식을 풀 때 음파를 '걸러내는' 데 쓰여요. 이 준정상 상태 근사치는 느리게 움직이는 흐름을 설명하는 데에 적합해요. 마하 수가 아주 적어서 거의 0으로 여겨지고, 음속이 흐름 속도보다 훨씬 빨라서 거의 무한대로 여겨질 때죠. 음향 모드를 포함하는 유체의 흐름 특성은 사실상 무시되는데 에너지가 거의 순간적으로 퍼져나가기 때문이에요.

 

비압축성 흐름은 사실 압축성 유체나 가스가 천천히 흐를 때 모델링하는 데 쓸 수 있어요. 하지만, 유체나 가스의 수직 범위가 밀도 스케일 높이에 가깝거나 그것을 넘어서면, 압축성의 아음속 효과들은 반드시 수송 방정식에 포함되어야 해요. 이런 효과는 보통 행성 대기나 중력에 의해 모이는 유체가 있는 행성과 별 내부에서 꼭 필요하죠.

 

이를 위해서는 비탄성 근사치를 사용하면 돼요. 이 방법은 여전히 빠른 음향 모드를 필터링하지만, 완전 비압축성 처리와 달리 유체가 수직으로 밀도가 계층화되는 걸 수동적으로 따를 필요가 없어요. 올라가는 유체는 팽창하고 내려가는 유체는 압축되어 주변의 밀도 계층화에 자연스럽게 적응하게 되죠.

자기 유체역학에서의 흐름

자기 유체역학도 비압축성 흐름의 근사치 중 하나예요. 전자기적으로 준안정 근사치를 사용하면 이제 자기 전달 방정식을 포함하는 전달 방정식의 해에서 광파를 걸러내게 돼요. 빛의 속도는 거의 무한대로 여겨져요. 전류 밀도의 발산도 마찬가지로 0으로 간주되죠. 이상하게도 맥스웰 변위 전류는 자기 유체역학에서 맥스웰 방정식을 간소화할 때 종종 생략돼요. 보통은 자기 유도 방정식으로 축소되죠. 

 

자기 유체역학에서는 운동이 광속에 비해 매우 느리기 때문에 특수 상대성 이론의 로렌츠 변환은 우리 일상에서 경험하는 갈릴레이 불변성으로 단순화되고 입자의 에너지는 뉴턴의 운동 에너지와 동일하게 여겨져요.

 

비압축성 유동이라고 하면 유체의 밀도가 변하지 않는다고 생각하기 쉬운데 그건 정확한 표현이 아니에요. 사실, 밀도 변화의 비율이 5% 미만이면 유동을 비압축성으로 볼 수 있어요. 이때 마하 수는 대략 0.3 정도가 되죠. 이런 가정은 유체 유동 문제를 풀 때 수학적 복잡성을 줄이기 위해 일반적으로 사용돼요.

 

비압축성 유체를 다룰 때는 압력이 변해도 밀도가 변하지 않는다고 가정하지만 사실 공기나 물 같은 유체도 높은 압력에서는 압축될 수 있어요. 그래서 어떤 유체를 비압축성으로 볼 수 있는지 정하는 임계 한계가 있답니다.

비압축성 물질

고체와 액체는 기본적으로 비압축성이라고 할 수 있어요. 그리고 그들이 섞여 있을 때도 마찬가지예요. 가지고 있는 밀도가 변할 수 있다 해도, 그게 그 물질을 압축할 수 있는지와는 관련이 없어요. 그래서 물과 기름을 섞었을 때 물이나 기름 중 어느 쪽에 있는지에 따라 밀도가 달라질 수 있지만 그래도 압축할 수는 없어요.

 

소금물과 담수를 섞은 것도 비압축성이에요. 여러분의 경우와 같아요. 염소와 나트륨 같은 전하를 띤 나노 입자들이죠. 밀도는 유체 전체에서 다를 수 있어요. 즉 얼마나 짠지에 따라 다르죠. 일정한 밀도를 가진 유체 역시 분명히 압축할 수 없어요.

 

하지만 이게 그 반대의 경우가 성립한다는 의미는 아니에요. 모든 가변 밀도 물질이 압축 불가능한 것은 아니에요. 일정한 밀도를 가진 물질은 모든 가능한 비압축성 물질 중 일부에 불과해요.

 

비압축성 유동이란, 유속에 따라 움직이는 유체 구획안에서 물질의 밀도가 변하지 않는 유동을 의미해요. 비압축성 유동이라고 해서 그 유체 자체가 비압축성이라는 뜻은 아니에요. 실제로 압축성 유체도 비압축성 유동으로 모델링 될 수 있어요. 반면 비압축성 유체는 유동이 어떻게 되든 간에 밀도가 일정하다는 특성을 가지고 있어요.