점성 유체 역학과 난류의 미해결 과제

점성 유체 역학은 일상생활의 다양한 분야에 깊숙이 영향을 미치는 고전 역학의 중요한 분야로, 인체 해부학, 기상학, 수리공학, 그리고 지상 및 해상, 항공 운송 등을 포함합니다. 이 분야에서 점성 유체의 흐름은 고전 역학 내에서 비선형성과 난류 현상을 대표하는 주요 사례로 손꼽히며, 4장에서 소개된 비선형 운동 방정식의 다양한 해를 탐구하는 데 있어 탁월한 예로 기능합니다.

점성 유체의 전단 응력 메커니즘

난류 현상의 정교한 분석은 고전 역학에서 아직 해결되지 않은 큰 난제로 남아 있으며, 이는 학문적으로 중대한 도전 과제로 인식됩니다. 유체는 고체와 달리 흐르는 특성 때문에 전단 응력을 견딜 수 있는 탄성 복원력이 없습니다.

 

대신, 유체 내의 전단 응력은 점성력에 의해 균형을 이루며, 이 점성력은 유체의 속도에 따라 변화합니다. 유체의 각 층이 상대적으로 움직일 때 전단 응력을 발생시키는 두 가지 주요 메커니즘이 존재합니다.

 

첫 번째 메커니즘은 층류 흐름을 통해, 인접한 유체 층이 다른 속도로 평행하게 움직일 때 점성력에 의해 전단 응력이 발생하는 과정을 포함합니다. 이러한 층류 흐름은 특히 고점도를 가진 유체, 예를 들어 꿀과 같은 경우에 잘 관찰됩니다.

 

이는 물과 같은 저점도 유체보다 혼합이나 이동이 훨씬 더 어렵다는 것을 의미합니다. 두 번째 메커니즘은 난류 흐름을 통해 설명됩니다. 여기서는 흐름이 큰 소용돌이 구조로 분해되며, 이는 인접한 유체 층 사이에서 운동량과 열을 전달하며 강한 항력을 유발하는 횡방향 운동으로 이어집니다.

나비에-스토크스 방정식과 유체 동적 구조

항공기 날개의 끝에서 발생하는 날개 끝 소용돌이는 이러한 대규모 소용돌이 구조의 대표적인 예로, 상당한 각운동량을 지니고 이는 점차 작은 구조로 분해되어 결국 붕괴합니다. 작은 규모의 일관된 구조에 작용하는 점성력은 최종적으로 에너지를 난류 운동으로 소멸시킵니다. 나비에-스토크스 방정식은 유체 흐름의 기본적 특성을 설명하는 방정식입니다.

 

이 방정식들은 뉴턴의 운동 제2법칙을 유체에 적용함으로써, 점성항과 압력항의 합으로 유체 내의 응력이 확산된다는 개념을 기반으로 합니다. 오일러 방정식과 함께 조합하여, 나비에-스토크스 방정식을 형성합니다. 이 비선형성은 유체의 동작을 단순한 층류 흐름에서 복잡한 난류 흐름까지 아우르는 다양한 형태로 나타나게 합니다.

 

나비에-스토크스 방정식을 풀기 위한 수치 해석은 이러한 다양한 크기의 동적 구조들 때문에 어려움을 겪습니다. 특히, 난류를 포함한 시뮬레이션에서는 매우 고해상도의 그리드가 요구되며, 이는 현대 컴퓨터 기술의 한계를 시험합니다. 고체와 유체의 접촉면에서의 미세한 경계 조건은 유체 분자가 고체-유체 경계에서 수직 방향으로는 움직이지 않으며, 접선 방향으로는 0의 평균 속도를 가진다고 규정합니다.

 

이 조건은 경계층 내에서 유체의 접선속도에 변화가 생기며, 이는 소용돌이를 유발합니다. 점성이 무시될 수 있는 경우, 소용돌이 내에서 각운동량이 보존되면서 소용돌이 운동이 유지됩니다. 이 소용돌이의 지속성과 중요성은 난류 흐름에서 볼 수 있는 다양한 길이 척도의 소용돌이 구조에 의해 설명될 수 있습니다.

 

예를 들어 대기에서는 소용돌이의 크기가 약 10^5 미터인 허리케인부터 10^-3 미터 크기의 소용돌이까지 다양합니다.항공기 날개와 선박의 선체 설계는 공기역학자와 유체역학자에게 깊은 고민과 헌신을 요구하는 분야입니다. 이들은 항력을 최소화하고, 층류를 유지하는 경계층의 길이를 최대화하는 설계에 집중합니다.

 

특히, 높은 레이놀즈 수 조건에서는 날개의 미세한 불완전성, 예를 들어 먼지 반점이 층류에서 난류로의 전환이 일어나게 할 수 있습니다. 이는 비행 중인 항공기 날개의 복잡한 흐름 패턴에서 명확하게 관찰됩니다.

항공기 날개의 층류와 난류 흐름

항공기 날개의 경우, 날개의 하부 표면은 높은 공격 각도에서도 층류를 유지하며, 날개 표면과 밀접한 공기의 속도는 0에서 시작해 점차 증가하여 밀리미터 두께의 바깥쪽 공기 속도에 도달합니다. 반면에 날개의 상부 표면은 처음에 층류이나, 급격한 경계층의 두께 증가로 인해 난류로 전환되고, 흐름이 날개 표면에서 분리되면서 대규모 와류 구조물이 형성됩니다.

 

이러한 와류 구조는 날개 코드에 필적하는 넓은 경계층을 형성하고, 공기 흐름이 날개의 상부 표면에 인접한 방향으로 역전되어 항력을 크게 증가시킵니다. 와류가 벗어날 때 발생하는 특정 주파수의 진동은 와류의 진동수가 구조의 공명 진동수와 일치할 경우 구조적 실패를 초래할 위험을 내포하고 있습니다.

 

선박의 경우, 물 흐름은 선수에서 층류로 시작해 선미 쪽으로 진행하면서 난류로 전환됩니다. 선박의 측면과 선미를 따라 이동하는 바닷물이 흰색 거품을 일으키는 것은 이러한 난류의 상당한 에너지 소산을 시각적으로 나타냅니다.

컴퓨터 시뮬레이션에서는 유선의 큰 발산을 통해 인접한 대규모 일관된 구조 사이의 경계가 민감하게 식별됩니다.

 

큰 양의 유한 시간 리아푸노프 지수는 이러한 구분을 통해 와류 구조 사이의 분리를 확인할 수 있으며, 리아푸노프 지수가 음수인 경우에는 일관된 구조 내의 유선이 수렴하는 것을 나타냅니다.